Cristal Polarizador: Breve historia de las matemáticas II: Antiguo Egipto

Papiro de Rhind

A diferencia de las civilizaciones de la Mesopotamia, con más de 400 tablas de arcilla que llegaron hasta nosotros, se tienen pocas fuentes de información sobre las matemáticas egipcias. Los pocos papiros que llegaron hasta nuestros días parecen ser de instrucción básica y probablemente no reflejen los conocimientos matemáticos que los egipcios poseían. En concreto, los papiros de Rhind y de Moscú, que datan del 1800 A.C. y del 1650 A.C. respectivamente, son los dos principales documentos acerca del conocimiento matemático de aquella época. Estos papiros contienen problemas y sus respectivas resoluciones. El de Moscú plantea 25 problemas; y el de Rhind, 87. En ellos se introducen varios temas: proporciones, ecuaciones lineales, progresiones aritméticas y geométricas, cálculos de áreas y volúmenes, pesos, etc. Sin embargo, los papiros no contienen demostraciones, por lo que es difícil saber cómo ellos deducían sus fórmulas y métodos.

Dichos papiros describen un sistema de numeración decimal, como el nuestro, con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10.

Sistema de numeración egipcio.

Entonces, para escribir 25, por ejemplo, se hacía así: | | | | | $\cap$ $\cap$. Y si se quiería sumar, por ejemplo, 25 a 32, se separaban las unidades y decenas de ambos números y se las sumaba:

25 + 32

( | | | | | + | | ) + ( $\cap$ $\cap$ + $\cap$ $\cap$ $\cap$ )

Este sistema, a diferencia del nuestro, no era posicional. Por ejemplo, 32 se podía escribir tanto | | $\cap$ $\cap$ $\cap$ como $\cap$ $\cap$ $\cap$ | |. Tampoco la escritura estaba obligada a ser horizontal, sino que podía ser vertical si así se prefería. La elección de todas estas factores dependía, principalmente, de cuestiones estéticas.

Al igual que los babilonios, la multiplicación la hacían a través de duplicaciones sucesivas. Para multiplicar $m$ por $n$ hacían una tabla de dos columnas en cuya primera fila colocaban a $m$ y al 1. Luego, se duplicaba esta fila para obtener la segunda. Este proceso se repetía hasta que la suma de todos los elementos de la segunda columna fuesen iguales a $n$. Finalmente, el resultado deseado era la suma de los elementos de la primera columna. Por ejemplo, para multiplicar 21 por 3, se hacía así:

21 1

42 2

En la segunda columna se ve que 1 + 2 = 3. Luego, el resultado buscado es 21 + 42 = 63. Otro ejemplo, 36 por 15.

36 1

72 2

144 4

288 8

Como 8 + 4 + 2 + 1 = 15, el evalor deseado es 36 + 72 + 144 + 288 = 540

La división de $n$ entre $m$ consistía consistía en crear una tabla de dos columnas en cuya primera fila se colocaba el uno y $m$. Luego se formaban las siguientes filas multiplicando por dos hasta que la suma de los números de la segunda columna fuese $n$, o el número más cercano sin pasarse. El resultado de la división sería la suma de los números de la primera columna. Por ejemplo, para hacer 21 divido 3:

1 3

2 6

4 12

Acá termina porque, en la segunda columna, 3 + 6 + 12 = 21 = $n$. Luego, el valor buscado es 1 + 2 + 4 = 7. Este es un ejemplo sencillo porque la división es entera. Cuando aparecían fracciones había que dividir entre 2 hasta reducir el numerador de la fracción a 1. Por ejemplo, para dividir 21 entre 6 se ejecutaba el mismo proceso anterior hasta que se obtenía un número mayor que el numerador. Si este no se podía obtener como la suma de los valores de la columna de la derecha, se continuaba la tabla dividiendo entre 2 a cada una de sus filas.

1 6

2 12

$2^{-1}$ 3

Como $6 + 12 + 3 = 21$, entonces $\frac{21}{6} = 1 + 2 + \frac{1}{2}$.

Algo que se me hace bastante curioso es que, los egipcios, utilizaban sumas de fracciones unidad $ \left( \frac{1}{m} \right) $, para expresar a todas las fracciones. Por ejemplo, $\frac{2}{5}$ era la suma de las fracciones $\frac{1}{5}$ y $\frac{1}{15}$. Para ayudarse con estos cálculos se utilizaban tablas. La más famosa es la tabla del Recto (curioso nombre), que aparece en el papiro del Rhind. En dicha tabla figura cómo escribir la fracción $\frac{2}{n}$ como suma de elementos de la unidad. Así, en la cuarta fila, por ejemplo, vemos que $\frac{2}{9} = \frac{1}{6} + \frac{1}{18}$.

Tabla del Recto.

En geometría, sabían aproximar al área de un círculo:

$A=(d \times \frac{8}{9})^{2}$

en donde $A$ es el área y $d$ el diámetro. Para ellos $\pi = 4\,(\frac{8}{9})^{2} = 3.160$ (esto es ligeramente menos preciso que los babilonios).

Los egipcios también sabían cómo resolver ecuaciones lineales y hasta algunas de segundo grado. Para resolver las primeras, utilizaban lo que se llama la regla de la falsa posición (o regula falsi). Este método consiste en presuponer un valor de $x$ y efectuar las operaciones de la ecuación. Luego se compara el valor obtenido con el pedido y se trata de llegar a este último por medio de proporciones. Por ejemplo, en el problema 24 del papiro de Rhind hay que resolver la ecuación $x + \frac{x}{7} = 19$.

Tomando $x = 7,\,\,x + \frac{x}{7} = 8$. Ahora se busca $n$ tal que $19 = 8n$, con lo que $x=7n$. Para esto, se divide 19 entre 8.

1 8

2 16

$2^{-1}$ 4

$4^{-1}$ 2

$8^{-1}$ 1

Como $16 + 2 + 1 = 19$, entonces $\frac{19}{8} = 2 + \frac{1}{4}+\frac{1}{8}$. Luego, $n = 2 + \frac{1}{4}+\frac{1}{8}$. Entoces $x=7n = 7\,(2 + \frac{1}{4}+\frac{1}{8})$. Ahora hay que realizar multiplicación:

1 $2+4^{-1}+8^{-1}$

2 $4+2^{-1}+4^{-1}$

4 $9+2^{-1}$

Finalmente, $x = 16 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{8}$

Breve historia de las matemáticas:

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