La paradoja de Galileo

Galileo Gelilei

Amo las paradojas. Es más, no conozco a nadie a quien no le gusten. La primera paradoja matemática que conocí fue la Paradoja de Galileo, que aparece en su libro “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. La paradoja comienza con la afirmación de que un número natural es un cuadrado perfecto o no lo es. Un cuadrado perfecto no es más que el cuadrado de un número entero. Ahora, si a cada natural lo multiplicamos por si mismo vamos a obtener un cuadrado, que también será un natural (natural por natural da un natural). Esto significa que hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es paradójico porque no todos los naturales son cuadrados. De hecho, a medida que avanzamos en la recta encontramos que aumenta la cantidad de números entre dos cuadrados. Esto insinúa que el todo no tiene porqué ser mayor que cualquiera de sus partes por separado.

Los célebres Diálogos

La respuesta de Galileo a la paradoja es que los conceptos de menor, igual y mayor sólo tienen sentido cuando se trata de conjuntos finitos. Según él, una recta larga no tiene más puntos que una más corta, sino que ambas tienen infinitos puntos. Más tarde Cantor demostraría que si bien esta conclusión es cierta para los naturales y los racionales, no lo es en términos generales. En efecto, algunos conjuntos infinitos sí son mayores a otros; de hecho, el conjunto de los números naturales se considera el menor conjunto infinito.

Georg Cantor

En realidad, el problema está en que se utilizó indistintamente dos conceptos diferentes de “tamaño de un conjunto”. El primer concepto está relacionado con los subconjuntos. Uno intuye que el conjunto de los naturales, N, es más grande que el de los cuadrados perfectos, C, porque este último es un subconjunto del anterior (siendo N y C distintos, claro está). Evidentemente, C tiene que tener un cardinal (cantidad de elementos) menor que N. La segunda noción de tamaño es la dada por una biyección, que es la asignación a cada elemento de un conjunto un único elemento del otro y sin que quede ninguno sin pareja. Por ejemplo, contar es armar una biyección, pues a cada elemento de un conjunto le estamos asignando un único número y viceversa. Así, cuando a cada natural le asignamos un cuadrado estamos estableciendo una biyección la cual sólo puede existir si ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. (Si el cardinal fuese distinto quedarían elementos sin pareja). Cuando estamos en conjuntos finitos ambos conceptos de "tamaños" coinciden, pero no ocurre así en los conjuntos infinitos: la primera noción de "tamaño" no se aplica en este caso. Si sólo usamos la noción de biyección entonces técnicamente no hay paradoja, salvo en nuestras pobres cabezas.

Alef Cero

La idea de comparar el cardinal de los conjuntos infinitos a través de biyecciones fue de Cantor. Él le asigno al cardinal de los naturales el valor abstracto Alef Cero ($\aleph_{0}$) y, estableciendo biyecciones, demostró que las números pares y las fracciones también tienen cardinal Alef Cero. (O sea que se trata de subconjuntos de los naturales que tienen su mismo cardinal y sirven de contra-ejemplos a nuestra primera noción de tamaño). También demostró que el cardinal de los números reales tiene que ser mayor que Alef Cero. De esta forma introdujo los números transfinitos, que son aquellos números cardinales (números que describen la cantidad de elementos de un conjunto) mayores a cualquier número natural. Alef Cero es el primero de ellos.

Todas estas ideas de Cantor, inspiradas por la Paradoja de Galileo, si bien fueron terriblemente rechazadas y combatidas en su momento, resultaron ser fundamentales en el desarrollo de la teoría de conjuntos y la matemática en general.

Nota: Nótese que he hecho trampa y jamás definí infinito. Hay varias definiciones distintas y no equivalentes para este concepto, por lo que es importante siempre saber cuál estamos utilizando (aunque en esta entrada no importa). Antes de Cantor se entendía como una secuencia que jamás finalizaba y, por ende, sin límites; él, en cambio, lo entendía como un conjunto completo en si mismo, pero de inacabables elementos. La definición más común, sin embargo, es como un conjunto en el cual para cada número natural, se tiene un subconjunto cuyo cardinal es dicho natural. Otra definición común, la de Dedekind, es como aquél conjunto que puede ponerse en biyección con un subconjunto de sí mismo, sin ser ambos iguales. Ambas definiciones no son equivalentes.