martes, 26 de abril de 2011

Los ataques a la libertad en Internet


Desde 2007 se han llevado a cabo reuniones cuyo fin es crear un nuevo marco legal internacional para colocar al copyright por encima de los derechos humanos fundamentales. Estoy hablando del mal llamado acuerdo anti-falsificación (ACTA), el cual pretende que las distintas naciones intercambien información sobre violaciones de copyright e impongan las penas correspondientes. Y esa información es la tuya; es sobre ti. Pues el derecho a la intimidad y el de compartir tienen desventajas económicas y políticas para ciertos sectores que desean mantener vivo un mercado obsoleto y preservar su control sobre la información. El siguiente vídeo, que no es la primera vez que lo menciono, lo explica bien:


Si bien el ACTA sigue en negociación, en la cuál y pese a su importancia no ha participado la gente, los distintos gobiernos ya le van allanando el camino a su manera. En Francia está la Ley Hadopi, la cuál creó una comisión con el poder de cortar Internet tras tres avisos que afirmen que se ha descargado o distribuido contenido con copyright. En España está la famosa Ley Sinde, la cuál también omite la intervención judicial real y otorga el poder a una comisión del Ministerio de Cultura. Ahora llega a Colombia un proyecto de ley que sigue la misma línea. Se trata de la llamada Ley Lleras (ver en pdf), la cual prevé darle a los proveedores de Internet (ISP) el poder para bloquear contenidos de una web que viole derechos de autor y sin necesidad de un trámite judicial. Así, las ISP se vuelven jueces que toman como medida cautelar el cierre de una web para que luego un juez de verdad determine si es cierto o no el delito imputado. En otras palabras, eres culpable hasta que demuestres tu inocencia. Pero, como si esto fuera poco, casi simultáneamente el gobierno colombiano sacó una ley llamada de inteligencia y contra-inteligencia, la cuál permite la intervención de las comunicaciones de las personas que se consideren peligrosas para el estado y posibilita encarcelar a todos aquellos que divulguen información confidencial. Curiosamente el artículo 15 de la Ley Lleras permite entregar, sin aclarar bien a quién, toda la información confidencial sobre ti. Así, hay una ley que permite la intervención a tu vida privada para obtener información y otra que, mediante una medida cautelar ejercida por las ISP, permite entregarle a quien sabe quién esa misma información ¿Coincidencia?

Los siguientes vídeos tratan sobre ambas leyes:

 

El denominador común entre la Ley Lleras, Sinde y Hadopi es claro: se omite a la justicia y se la reemplaza por un tercero que analiza toda tu actividad en la red con el fin de proteger al copyright y el monopolio de la información. Antes de Internet tanto los gobiernos como las empresas tenían que tratar sólo con unos pocos medios que servían de vínculo entre la gente y ellos. Ahora eso cambió: en la red todos tenemos voz y podemos dar nuestra opinión y compartir información. Esto es la verdadera libertad de expresión. Con estas patéticas leyes y medidas, que omiten a la justicia (repetiré esta frase hasta el cansancio: se omite a la justicia), obtienen las herramientas necesarias para aplicar la censura a aquellas voces que les disgustan, recuperando así el control sobre la información que una vez tuvieron. Es por esto que la neutralidad de la red debe ser un derecho fundamental. Como puedes ver, el tema va mucho más allá del copyright y los derechos de autor.

A su vez, en EEUU se alienta un proyecto algo diferente pero con los mismos objetivos. Se trata del National Strategy for Trusted Identities in Cyberspace (NSTIC). Este busca crear un soporte físico, una especie de tarjeta, la cuál hará de DNI virtual. Esta tarjeta, que será el medio que utilices para acceder a tus servicios en lugar de la típica contraseña, guardará todo la información sobre tus acciones en la red y servirá para identificarte.

Está claro que ninguna de estas leyes, medidas y proyectos debería existir. Incluso si por algún motivo te disgusta la mal llamada piratería, te debería ser evidente que garantizar el éxito económico de un mercado moribundo (Nadie tiene derecho a tener éxito en su trabajo sino a intentarlo) no justifica de manera alguna la perdida del derecho a la intimidad, la libertad de expresión, la presunción de la inocencia y la omisión de la justicia y su reemplazo por un tercero.



Agradezco a JK, por pasarme los vídeos que aquí he colocado y por motivarme a escribir esta entrada.

domingo, 24 de abril de 2011

La extremadamente curiosa Ley de Bode


Cuando el matemático Johann Daniel Titius traducía un libro del naturalista suizo Charles Bonnet, el cual versaba sobre la inspiración divina del orden natural, se tomó la libertad de agregar un pequeño y modesto párrafo. El original mencionaba que se conocían seis planetas (Todos desde Mercurio a Saturno), pero que no se sabía si podían haber más. Titius le agregó, además, que la distancia al Sol de cada uno de ellos seguía una bella ley matemática, deducida de forma empírica y sin ninguna base teórica:

$D_n = \frac{n+4}{10}$

O sea,

Una unidad astronómica (UA) se define como la distancia de la Tierra al Sol.

Bastante curioso, ¿verdad?Siempre es impresionante cuando se descubre una fórmula que sin motivo aparente describe una parte del mundo. (Piénselo: ¿Por qué esto parece funcionar?). Titius hizo notar también el hueco dejado por el valor 2,8 UA: debía haber un planeta perdido entre Marte y Júpiter. Hecha esta ligera modificación, que él jamás se atribuyó, publicó su traducción. Ocho años más tarde esta cayó en manos de Johann Elert Bode, quien escribía un libro introductorio a la astronomía. La obra de Bode, quien descuidadamente omitió los nombres Bonnet y Titius, fue la que popularizó la fórmula y por eso es que esta lleva su nombre.

En 1781, de la mano de William Herschel y justo en donde la fórmula predecía, se descubrió Urano ¡La fórmula funcionaba! De los primeros ocho valores dados por esta, siete coincidían aproximadamente con la posición real del planeta. Eso es poder de predicción. Bode terminó por reconocer sus fuentes y alentó a la busqueda del planeta perdido entre Marte y Júpiter ¡¡¡Y lo encontraron!!! A 2,77 UA, casi en donde predecía la fórmula, el 1 de enero de 1801 Giuseppe Piazzi descubrió Ceres, un planeta enano que hasta 1860 fue considerado un planeta propiamente dicho. (También se lo consideró, hasta 2006, el mayor de los asteroides que giran alrededor del Sol). Esto hace ocho de ocho: la fórmula era Ley.

Ceres, hoy un planeta enano, fue considerado un planeta propiamente dicho hasta 1860.
Cuarenta y cinco años después del descubrimiento de Ceres se descubrió Neptuno, muy lejos de donde debería estar el muy maldito. La bella y elegante fórmula no era una ley después de todo. Cosa que se confirmó con el descubrimiento de Plutón en 1930, que también se encontraba extremadamente lejos de donde debería estar. Y ahora viene lo más curioso: si omitimos a Neptuno, entonces Plúton sí estaría en donde la ex-ley afirma:


Muy pero muy curioso, ¿verdad? Aún se desconoce el motivo de tal poder de predicción. Ahora, como estudiante de matemática y apasionado a la física (de tener más neuronas haría ambas carreras) tengo una propuesta que hacer. Dado que la definición de planeta es una invención humana, ¿porque no definimos planeta como un cuerpo celeste que sigue la Ley de Bode? Así Ceres y Plutón serían planetas de nuevo y la bella fórmula de la que trata esta entrada describiría hermosamente una partecita del universo.



Links de interés:
Fuentes:

miércoles, 20 de abril de 2011

El tamaño sí importa

Eight Legged Freaks
Cuando era un niño, y gracias a ciertos comics, me asustaba la posibilidad de que hubiese insectos y arácnidos gigantes. Después de todo, ellos tienen toda una gama de habilidades interesantes como volar, caminar por las paredes o el agua y resistir caídas enormes. Me parecía un verdadero milagro en que todos ellos fueran, afortunadamente para nosotros, lo suficientemente pequeños como para no representar una amenaza (Bueno, de hecho hay muchos organismos diminutos verdaderamente peligrosos, pero se entiende lo que quiero decir). Claro, siempre un científico loco o la exposición a la radiación podrían crear peligrosos insectos gigantes, ¿verdad?

Galileo, una vez más.
Hace más de trecientos años, Galileo formuló la llamada Ley cuadrado-cúbica. Esta viene a ser una de esas bofetadas a nuestro sentido común, al menos para mí. Y es que nosotros tendemos a pensar en proporcionalidad: que dos cajas iguales son el doble de pesadas que una; que tres ejemplares del mismo libro cuestan tres veces más que uno sólo y que al duplicar el tamaño de un objeto, se duplica su superficie y su volumen. Esto último es falso. Imaginemos un simple cubo cuyos lados tienen una longitud l. La superficie de cada una de sus caras es ; y su volumen, que en este caso será la altura por la superficie una de sus caras, es . El cociente entre volumen y la superficie es l³ / l² = l. Esta relación es una característica del objeto y no debería cambiar al aumentarlo o achicarlo. Sin embargo, si duplicamos el tamaño del cubo, entonces sus lados medirán 2l y, consecuentemente, su superficie será (2l)² = 4l² mientras que su volumen será (2l)³ = 8l³. La nueva relación entre el volumen y la superficie es 8l³ / 4l² = 2l: ¡la relación no se mantiene! El volumen creció más rápido que la superficie. Precisamente, la ley cuadrado-cubo afirma que
Si cualquier cuerpo tridimensional crece manteniendo sus proporciones, entonces su superficie lo hará como el cuadrado de cualquiera de sus líneas y su volumen como el cubo de las mismas.
Así, todos aquellas características de un ser vivo que dependen del volumen (como el peso) aumentarán al mismo ritmo que este y aquellas que dependan de la superficie (como la resistencia de los huesos) aumentarán al ritmos de esta. Hank Pym o el Chapulín Colorado, famosos por cambiar su tamaño, no podrían existir jamás. Por ejemplo, sería inútil tratar de transformar a un ser humano en un gigante: sus huesos no soportarán el peso. Y, además, no podría respirar, mantener su temperatura corporal y un sin fin de cosas más: fuimos “diseñados” para un tamaño específico. Claro, esto no significa que no puedan haber seres gigantes, pero sí que tienen que estas adaptados para poder vivir con dicho tamaño. Por ejemplo, las ballenas son seres enormes que pueden morir bajo su propio peso si se quedan varadas (las ballenas pueden respirar fuera del agua; no es la asfixia el peligro), aunque no les ocurre nada en el agua, en donde están sostenidas por una fuerza que depende de sus volúmenes.

Hank Pym
Así, mi temor a los insectos gigantes era infundado. Sus interesantes habilidades dependen de su tamaño. Por ejemplo, soportan grandes caídas ya que, como su peso es pequeño, rápidamente el rozamiento con el aire lo compensa y caen a velocidad constante. Nosotros, en cambio, necesitamos paracaídas. El hecho de que puedan caminar por las paredes o que algunos puedan pararse en el agua también se debe a su escaso tamaño.


Explicar cómo es eso en el caso del agua me llevaría a explicar qué es la tensión superficial, y esto requeriría su propia entrada. Pero diré que la tensión superficial provoca que la superficie de los líquidos se comporten como una especie de membrana elástica y que la fuerza que experimenta un objeto sobre ella es proporcional al tamaño. Si dichos objetos son lo suficientemente pequeños, como las infinitamente delgadas patas de ciertos insectos, entones pueden sostenerse en la membrana sin romperla. 

Insecto que no se deja sorprender por Jesús.
En el caso de las paredes la cosa es más sencilla: los insectos y arácnidos se sirven, en general, del efecto adhesivo que tiene el vello de sus patas. Este efecto se debe, en última instancia, a la atracción eléctrica, producto de las Fuerzas de Van Der Waals, que se produce entre las moléculas de los vellos y las de la superficie. En nuestra escala este sistema de adhesión no sirve: dada nuestra masa nosotros no podemos despreciar los efectos de la gravedad que nos jala hacia el suelo; los insectos, en cambio, no tienen que preocuparse por ella.


Pero si las características de los seres vivos están tan relacionadas entre sí, ¿Qué pasa con las de los otros objetos? ¿Acaso no debe estar todo el universo creado de forma tal que pueda, justamente, existir? La respuesta es sí. Todo lo que vemos está constituido por átomos, los cuales tienen un tamaño específico. Para modificar el tamaño un objeto deberías modificar el tamaño sus átomos y lograr mantenerlos estables. Para que esto fuese posible deberías ser capaz de manipular las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y de cambiar las constantes físicas del universo: estarías creando una nueva física; con nuevas leyes para el mundo.

jueves, 14 de abril de 2011

12 Editores LaTex para GNU/Linux


Últimamente tengo el blog bastante abandonado. Es que me encuentro bastante ocupado con proyecto que debo entregar a fin de mes. Como obviamente lo estoy haciendo en LaTex estuve viendo cuál es el mejor editor para mí. Estos son los que encontré:

1. Eclipse es una IDE que permite el uso de varios lenguajes de programación. Su plugin para LaTex, Texlipse, lo convierte en el editor LaTex más completo que conozco.


2. Gedit, el editor de textos de Gnome, era, junto con su complemento para LaTex (gedit-latex-plugin), mi opción preferida antes de conocer Gummi. Las opciones para LaTex no aparecerán en la interfaz al menos de que elijas la opción "Nuevo Documento LaTex"; así que el editor lucirá como siempre cuando hagas otras cosas. Para el que sabe LaTex tiene todo lo necesario; el novato probablemente preferirá algo más completo.


3. Gummi es mi opción favorita. Se trata básicamente de una terminal y un visor: minimalista hasta más no poder (así me gusta a mí), así que para un novato seguramente no es lo mejor. Su punto fuerte es su pantalla dividida, en la que una de sus partes es un visor “en tiempo real”, por lo que no hace falta estar compilando a cada rato. El gran inconveniente es que carece de navegación por pestañas.


4. JLatexEditor es un editor Open Source bastante completo que se encuentra en vías de ser multiplataforma.


5. Kile es un editor LaTex, similar a TexMaker pero ligeramente más completo, diseñado para KDE, aunque con las librerías qt instaladas corre también en Gnome y en Mac. Tiene muchos asistentes, menús e iconos que lo hacen perfecto para el que recién empieza. Para la mayoría se trata del mejor editor para Linux. Sin duda es el más popular para este sistema.


6. LaTexila vendría a ser el Kile de Gnome. La mejor opción para novatos que no quieren instalar las librerías de KDE. El nombre parece ser un juego de palabras: LaTex en inglés se pronuncia "Lateks", resultando "La Tequila". (Sin embargo la pronunciación correcta sería "LaTejs": no se trata de una x sino de la letra griega Ji)



7. Lyx es un editor libre y multiplataforma que permite la edición de texto con LaTeX, pero con la pequeña ventaja de que no necesitás saber absolutamente nada de LaTex. Para introducir fórmulas puedes utilizar codigos LaTex, utilizar su editor “tipo MathType” o una mezcla de ambos. Además podés ver aproximadamente cómo luce todo en lugar de sufrir con un tortuoso código. Un excelente programa sin duda. Es poderoso, fácil de usar, viene con un excelente manual (traducido al español, claro está) y probablemente sea la mejor opción para la mayoría. Yo lo uso siempre que puedo, pero necesito también algo más tradicional.


8. Medit es un editor de textos muy completo, que destaca por tener un terminal empotrado, y que permite trabajar con muy bien con LaTex. Es como tener Gedit con su plugin para LaTex, aunque Medit me gusta más.



9. TexMaker es libre y multiplataforma y probablemente sea la opción más popular de la lista. Es muy fácil de usar y es ideal para novatos. Su principal desventaja es meramente estética: su interfaz no se integra con el escritorio.


10. TexMakerX se trata de un fork de TexMaker. A deferencia del otro, este sí tiene integración con el escritorio.


11. TeXworks es un editor libre y multiplataforma. Esta basado en Texshops, un editor LaTex para Mac. También trabaja con ConTeXt y XeTeX.


12. Winefish tiene una interfaz minimalista que puede extenderse al convertir los menús de su barra en ventanas. Carece de un visor integrado y no es recomendado para novatos.


Mi recomendación: Si sos nuevo en LaTex y estás en KDE, Kile; si estás en Gnome, LaTexila. Y no te olvidés de probar Lyx.

martes, 5 de abril de 2011

Breve historia de las matemáticas IV: Antigua Grecia II


Sorprendentemente mis entradas sobre matemáticas son las más leídas del blog. Una lástima que sean las que más tiempo me lleven. Pero el fin, he aquí la continuación de Breve historia de las matemáticas III: Antigua Grecia I. Esta es un entrada algo larga, pero en realidad es una suma de biografías entre matemáticos de distintos matemáticos sin mucha relación entre sí, así que se puede leer por partes sin problema. Me hubiese gustado hacer algo menos enciclopédico y más parecido a un relato, pero estaba difícil y mi tiempo es últimamente muy escaso.

Hiparco de Nicea fue el astrónomo griego. Nació en lo hoy sería Turquía alrededor del año 190 A.C. y es famoso por su basto catálogo de estrellas, el cuál incluye unas 1008 estrellas con su intensidad relativa. Formuló la Teoría Geocéntrica Excéntrica, en la cual la órbita del Sol y la de los otros planetas no están centradas en la Tierra sino un poco corridas, cosa que está relacionado con que el Sol está, en realidad, en el foco de la elipse que forma la órbita de la Tierra; e introdujo el concepto de epiciclo (también atribuido a Apolonio de Perga), un modelo geométrico ideado para explicar las variaciones de velocidad y dirección del movimiento aparente de los planetas y que luego sería muy popular entre los geocentrístas para tratar de subsanar las imperfecciones de esta teoría. Inventó el Teodolito, un instrumento que sirve para medir ángulos y, junto con otros instrumentos, distancias y desniveles. Pero en matemáticas se lo conoce nada más y nada menos que por ser el padre de la Trigonometría. (A mí no me gusta llamar padre de nada a nadie, pero bueno). En términos muy generales, esta es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas: secante, cosecante y contangente. Estos conceptos son muy anteriores a Hiparco; los babilónios y los egipcios ya los conocían. Pero sucede que en la época de Hiparco no se usaban tanto los conceptos de seno y de coseno, como hace la matemática moderna, sino que utilizaban el de cuerda. Una cuerda es la recta que une dos puntos cualquiera de una curva. En la imagen, la línea roja es una cuerda. La fama del astrónomo griego se debe, precisamente, a sus tablas de cuerdas, precursoras de las tablas trigonométricas, y que son las más antiguas que se conocen.


$crd \theta = 2 \cdot sen \frac{\theta}{2}$

(Formulación moderna)

Para armar dichas tablas, Hiparco recorrió una circunferencia de radio r (el valor real utilizado por el griego se desconoce), empezando 0º y aumentando de a 7, 5º hasta llegar a 180º. Estas tablas permitían a los astrónomos griegos resolver cualquier triángulo, y gracias a esto podían hacerse cosas como comparar el tamaño del Sol con el de la Tierra y estos dos con el de la Luna. Hiparco hizo todo esto y, si bien los valores que obtuvo no eran correctos, sí lo era el método matemático para obtenerlos.

Hiparco conocía el Teorema de Ptolomeo, llamado así porque a este último se le debe la primea demostración conocida. El teorema afirma que

El producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
 $\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$

Además, parece que Hiparco conocía el mejor valor de $\pi$ de la época: entre $3 + \frac{1}{7}$ y $3 + \frac{10}{71}$.

Claudio Ptolomeo, nacido alrededor del año 100 A.C., es el famoso autor del Hè Megalè Syntaxi (Composición matemática); libro conocido por todos como Almagesto (del árabe Al-Majesti: el más grande) y que sería el principal texto de astronomía durante mil quinientos años. Si bien este es un tratado de astronomía, su nombre original se debe a que en la antigüedad esta era una rama de las matemáticas. El libro está basado en el catálogo de estrellas de Hiparco, en su sistema geocéntrico y en los epiciclos. Pero no pensés que se trata de una mera copia o recopilación. Ptolomeo desarrolló estas teorías y agregó muchas otras, demostró matemáticamente todo lo que debía demostrar y aportó datos empíricos para todo lo que lo necesitaba. La influencia de Hiparco es importante, pero se trata de una obra original.

En geometría demostró el ya mencionado teorema que hoy lleva su nombre. Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las actuales fórmulas trigonométricas del seno y coseno de la suma de dos ángulos, que hoy en día (Ptolomeo trabajaba con cuerdas) se expresan como:
  • $sen(a+b) = cos(a) \cdot sen(b) + sen(a) \cdot cos (b)$
  • $cos(a+b) = cos(a) \cdot cos(b) - sen(a) \cdot sen(b)$ 

Asimismo, conocida la medida de la cuerda de un arco, Ptolomeo calculó la cuerda del arco mitad, aquella que hoy en día se escribe así:

$sen(\frac{\alpha}{2})= \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}$

También construyó sus propias tablas de cuerdas muy precisas y que van de los 0º hasta 180° en periodos de 0,5º. Sus conocimientos de trigonometría también le fueron útiles para la construcción de astrolabios y relojes de sol.

Nicómaco de Gerasa, nacido alrededor del año 60 D.C. fue un matemático de renombre en la antigüedad. Su Eisagoge ArithmetikeNicómaco no demostraba sus teoremas sino que únicamente los ilustraba con ejemplos (probablemente esta sea la razón por la que su nombre se ha olvidado). Ciertos errores elementales en su obra sugieren que muchas veces no conocía las demostraciones de sus afirmaciones o que simplemente se trataban de suposiciones. Una curiosidad aparentemente descubierta por Nicómano, y seguramente conocida por quién haya estudiado programación, es la siguiente:
Sumando el primer impar se obtiene el primer cubo, sumando los dos siguientes impares se obtiene el segundo cubo, sumando los tres siguientes se obtiene el tercero, y así sucesivamente:

  • $0+1 = 1 = 1^3$
  • $3 + 5 = 8 = 2^3$
  • $7 + 9 + 11= 27 = 3^3$
  • $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$

Herón de Alejandría, famoso nada menos que por haber inventado la primera máquina de vapor, viene a ser el complemento perfecto de Euclides: si la obra de este fue la principal fuente de conocimiento de las matemáticas abstractas, la de Herón lo fue de las aplicadas. En sus obras se discuten la construcción de todo tipo de máquinas, desde planos inclinados y poleas hasta pianos que se tocan solos y puertas de templos automáticas (¡eso es ser un visionario!). Como matemático, escribió La Métrica, obra donde estudia las áreas y volúmenes de diversas superficies y cuerpos. Pero hoy en día su nombre es recordado, en el mundo de las matemáticas, por la llamada fórmula de Herón (que pudo ser también de Arquímedes), la cual relaciona el área A de un triángulo con la longitud de sus lados:


$A = {\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

 Sorprendentemente, parece que también se le habría pasado por la cabeza el concepto de número imaginario mientras calculaba el volumen del tronco de una pirámide (un tronco es la parte de un sólido que se obtiene al cortarlo con dos planos paralelos). De ser verdad esto es increíble, pero todo en Herón es increíble. Y hablando del tronco de una pirámide, si sus bases son paralelas y tienen superficies $B_1$ y $B_2$, el volumen es igual a la altura $h$ del tronco por la media heroniana $H$ del area de sus bases.



$H = \frac{1}{3}(B_1 + \sqrt{B_1 B_2} +B_2)$

$Vol = h \cdot H = \frac{h}{3}(B_1 + \sqrt{B_1 B_2} +B_2)$

Diofanto de Alejandría, nacido alrededor del año 200 D.C es considerado el padre del álgebra. Su gran obra es la Arithmetica, en la que, entre otras cosas, se hacen su aparición las ecuaciones diofánticas y algunos métodos para su resolución. Una ecuación diofántica lineal es de la forma:

$Ax + By = C$

En donde tanto x e y, si existen, como A,B y C son enteros. En la Arithmetica no hay demostraciones, sino que se trata de una recopilación de problemas y sus resoluciones. Uno de esos problemas es su epitafio (que en inglés queda mejor porque se puede hacer rimar):
Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad (84 años).
También hay quien cree que Diofanto sabía que cada número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados enteros: ¡increíble: otro visionario!

$n=a^2+b^2+c^2+d^2$

Pero es posible que la contribución más importante de Diofanto a las matemáticas haya sido su notación: introdujo un simbolismo algebraico que utilizaba una abreviatura para lo desconocido y para las potencias de lo desconocido. Esto le facilitaba mucho las cosas: en matemática utilizar la notación inadecuada puede ser terrible.

Pappus, nacido alrededor del año 290 D.C, es el último gran matemático conocido de la antiguedad. Su gran obra, la Collectio (Colección) se conserva sólo parcialmente pero trae consigo el inicio de la geometría proyectiva (esto es, en una definición vaga, el estudio las figuras geométricas pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida). La obra incluye un conjunto de fórmulas sobre centros de gravedad de los cuerpos en rotación, hoy en día conocidos como fórmulas de Guldin por su popularizador. Además, la obra también tiene un importante carácter histórico, pues contiene una gran cantidad de comentarios, citas y referencias de otras obras, algunas conocidas como el Almagesto o el Elementos, pero la mayoría perdidas.

El nombre de Pappus está asociado a una gran cantidad de teoremas:

  • Teorema del centroide de Pappus
  • La cadena de Pappus
  • Teorema armónico de Pappus
  • Teorema del hexágono de Pappus.

Sin embargo, cuando uno dice teorema de Pappus generalmente se está refiriendo al del hexágono. Este afirma que
Si en un par de rectas escogemos tres puntos al azar en cada una y los unimos de a pares, entonces las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta.



Breve historia de las matemáticas:
    Fuentes:
    Notas:
    • Todas las imágenes son la de Wikipedia, salvo la primera.
    • Utilizé otras fuentes cuyas url's perdí en medio de un cambio de SO y, en consecuencia, no puedo mencionar.