La paradoja de la escalera

Miremos la imagen. Tenemos un cuadrado de lado uno sobre el que trazamos una diagonal y pintamos de azul dos de sus lados, los cuales forman, junto a dicha diagonal, un triángulo. El perímetro de lo pintado de azul es 1 + 1 = 2. Ahora partimos por la mitad cada lado del triángulo y obtenemos lo que puede pensarse como el primer escalón de una escalera. Su perímetro es 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2. Volvemos a hacer lo mismo que antes con cada uno de los nuevos triángulos y obtenemos una escalera de perímetro 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 2. (Se puede ver que el perímetro nunca cambia; lo que es lógico: ¿por qué debería hacerlo?). Y así repetimos el procedimiento infinitas veces hasta que la escalera se confunda con la diagonal. Dado que ambas son ahora indistinguibles, la longitud de la diagonal debe ser 2. Sin embargo, por el Teorema de Pitágoras sabemos que dicha longitud es $\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$.

Conclusión: $2=\sqrt{2}$

Si lo he entendido bien, en realidad esto no es una paradoja sino un simple error. En realidad la escalera nunca es igual a la diagonal, sino que siempre quedan escaloncitos infinitamente pequeños. Y pese a ser infinitamente pequeños, siguen siendo infinitos eslanoncitos: no los debemos despreciar. Lo que hay que calcular en realidad no es el perímetro de los escalones sino la longitudes de la infinitas diagonales que forman, y luego hay que sumar todas esas diagonales. Veamos:

Al principio tenemos un sólo escalón de lados 1; su diagonal mide:

$1 \cdot \sqrt{(1)^2+(1)^2} = 1 \cdot \sqrt{2 \cdot (1)^2} = \sqrt{2}$

(El número 1 delante de la raíz es porque solo tengo una diagonal).

Después tenemos dos escalones de lados $\frac{1}{2}$; la suma de las dos diagonales es:

$2 \cdot \sqrt{2 \cdot (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{2}$

Luego tenemos lados $ \frac{1}{4 }$; la suma de las cuatro diagonales es:

$ 4 \cdot \sqrt{2 \cdot (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{2}$

Y al hacerlo n veces:

$2^n \sqrt{2 \cdot (\frac{1}{2^n})^2} = 2^n \sqrt{2} \cdot \sqrt{(\frac{1}{2^n})^2}= \sqrt{2}$

Come se ve, al considerar las infinitas diagonales de los infinitos escalones, las cosas dan bien. El error está en despreciar a los infinitos escaloncitos por considerarlos demasiados pequeños, pero ellos siguen estando ahí y se hacen sentir.