Cristal Polarizador: La paradoja del cumpleaños

Usted se encuentra en una charla informal junto a otras 22 personas. Después de charlar un rato, dos de ellas descubren sorprendidas que cumplen años el mismo día ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra? Después de todo, en un año hay 365 días; o sea, unas 16 veces 23. Pues bueno, la probabilidad de que en un grupo de 23 personas haya dos que cumplan años el mismo día es del 50,7 % ¡Es ligeramente más improbable no encontrar ninguna coincidencia! Para 60 personas la probabilidad llega al 99%; un dato interesante si querés jugarle una apuesta a alguien.

¿Dónde está el error o el engaño? Bueno, el problema está en que cuando uno dice "dos personas” nuestro egocentrismo nos pone a nosotros mismo como una de ellas. Sin embargo, si determinamos desde el comienzo que nosotros debemos formar parte del par, entonces la probabilidad de que alguno de ellos festeje con nosotros es del 6,3%. Y es que al hacer esto estamos obligando a que el otro cumpla en un día particular del año: el nuestro. Sin embargo acá se trata de que dos personas cualesquiera y elegidas al azar cumplan el mismo día, sea ese día el que sea. En realidad, lo que tenemos que contar es cuantos posibles emparejamientos pueden armarse dentro de un grupo de 23 personas. La forma rápida de hacer esto es usando el número combinatorio. Este nos dice que la cantidad de formas que tenemos de agrupar un total n elementos eligidos en grupos de k elementos es

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

En donde ! es el famoso factorial ($ 4! = 4 \times 3 \times2 \times 1 $; $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$; etc). Así, la cantidad de formas que tenemos de agrupar un total de 23 personas tomadas de a 2 es:

$C(23, 2) = 253$

Dado que hay 253 posibles parejas, no es tan raro que en alguna de ellas sus integrantes cumplan años el mismo día. En cambio, cuando nos ponemos a nosotros en el par desde el principio y buscamos una pareja entre los 22 restantes entonces sólo hay, evidentemente, 22 posibilidades:

$C(22, 1) = 22$

Si se encuentran 60 personas en el grupo, entonces hay casi cinco veces más emparejamientos posibles que días en el año:

$C(60, 2) = 1770$

Habiendo llegado hasta acá, y si no me expresé muy mal, ya deberías entender el porqué de la mal llamada paradoja, además de contar con el poderoso número combinatorio entre tu arsenal matemático. Pero sigamos adelante y obtengamos la fórmula que nos da la probabilidad y que es bastante sencilla de caulcular. Matemáticamente la probabilidad se define como la cantidad de casos favorables sobre la cantidad de casos totales. Así, al lanzar una moneda al aire, por ejemplo, tenemos un solo caso favorable (cara o seca según lo que hayamos elegido) sobre un total de dos casos (el resultado será cara o será seca), por lo que la probabilidad de que salga una cara determinada es 1/2; es decir, del 50%. (Si no usamos porcentajes entonces la probabilidad siempre será un número entre cero y uno). Volviendo a nuestro problema, la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan el mismo día. Una vez hecho eso, utilizaremos ese dato para calcular la probabilidad de que sí haya alguna coincidencia festiva.

Comencemos eligiendo a una persona del grupo. La probabilidad de que su cumpleaños no coincida con nadie es del 100%, pues se trata de la única persona: $ \frac{365}{365}$ = 1 = 100%. Ahora tomemos a otra. La probabilidad de que esta no cumpla el mismo día que la primera es de $\frac{364}{365}$. Elegimos a una tercera; la probabilidad de que esta no comparta su cumpleaños con alguna de las anteriores es de $\frac{363}{365}$. Y así procedemos sucesivamente. Cuando lleguemos a la persona número n (la enésima), la probabilidad será $\frac{365-n+1}{365}$. Luego, la probabilidad, que llamaré q, de que en el grupo no haya coincidencia alguna será el producto de todas las anteriores:

$ q = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{365- n +1}{365}$

Esta es la fórmula que nos da la probabilidad q que queríamos. Pero como es muy fea, permítanme escribirla más linda:

$ q = \frac{365!}{365^n \cdot (365-n)!} $

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en su cumpleaños, la probabilidad p de que haya alguna pareja que sí lo haga será p = 1 - q. En otras palabras: al 100% de los casos posibles le resto el porcentaje de aquellos en los que no hay coincidencias, dejando sólo el de los casos que sí las tienen.

$p = 1 - \frac{365!}{365^n \dot (365-n)!}$

Ahora sólo resta hacer las cuentas: