Cristal Polarizador: La paradoja de Monty Hall

Esta es una paradoja tan conocida como discutida. Y es que, por algún motivo que no alcanzo a comprender bien, a la gente en general le cuesta bastante agarrarle la vuelta, incluso a los que pertenecen al mundo de las fórmulas y los patrones. Yo mismo tuve en su momento varios dolores de cabeza con ella, pero ahora se me hace tan evidente que no puedo explicar qué era lo que me confundía.

El nombre de la paradoja proviene del programa Let's make a deal, que estuvo en el aire desde el '63 al '91 y que era conducido por el showman Monty Hall. En este programa, Monty ponía al concursante frente a tres puertas cerradas y le pedía que elija aquella en la que pensaba que estaba el premio. Hecho eso, de las dos puertas sin escojer, Monty abría una en la que no había nada, dejando sólo dos puertas cerradas frente al participante. Y en este momento le hacía la gran pregunta: ¿Deseás quedarte con la puerta que elegiste o preferís cambiarla por la otra?

¿Qué harías vos, posible lector? ¿En cuál de las dos puertas es más probable que esté el premio? ¿Cuál conviene elegir?

Si sos un humano promedio, entonces habrás concluido que ambas puertas tienen la misma posibilidad de salir premiadas y que se trata de un 50-50. Pero no, en realidad conviene cambiar de puerta.

Pensémoslo así; en vez de considerar tres puertas por separado, analizemos dos conjuntos:

Conjunto A: Puertas elegidas.
Conjunto B: Puertas sin elegir.

Como yo sólo escogí una puerta de las tres, el conjunto A tiene un sólo elemento. En consecuencia, la probabilidad de que el premio esté en A es de 1/3. A su vez, el conjunto B tiene a las dos puertas que dejé de lado, así que su probabilidad de ser el conjunto premiado es de 2/3.

Ahora voy a B y abro una puerta en la que sé que no hay premio. Esto no modifica la probabilidad de que el premio esté en B, pues yo lo único que hice fue sacar un elemento inútil del conjunto. Es como si dicho elemento jamás hubiera estado. Por tanto, B sigue teniendo 2/3 de probabilidad, sólo que ahora esta está repartida entre un solo elemento y no en dos: me conviene cambiar de puerta.

Es muy importante el hecho de que la puerta que Monty abre no tiene premio. Si él, en cambio, abriese azarosamente una puerta de B, entonces el conocimiento previo del showman no intervendría nunca. Así todo el proceso sería perfectamente azaroso y cambiar o no de puerta no importaría. La forma más sencilla de entender esto es la del físico Leonard Mlodinow: aumentar el número de puertas. Reformulemos el problema: Monty nos pide que elijamos una de entre 1000 puertas, abre cuidadosamente 9998 sin premio y deja sólo una cerrada. En este caso, ¿Qué harías? ¿Es más probable haber acertado una en mil o que el premio esté en la sospechosa puerta que Monty, a propósito, dejó sin abrir?

Si aún seguís sin estar convencido, podemos arremangarnos y contar todas las posibilidades. Si suponemos que el premio está en la puerta 1, entonces nos queda la siguiente tabla:

*Puerta elegida*	*Cambio posterior*	*Resultado*
1	No	Gana
1	Sí	Pierde
2	No	Pierde
2	Sí	Gana
3	No	Pierde
3	Sí	Gana

Como puede verse en la tabla, si el premio está en la puerta 1, hay un solo caso en el que se gana al no cambiar la puerta (En rojo). A su vez, hay dos casos en los que se gana al cambiarla (En verde). La tablas para cuando el premio está en la puerta 2 y para cuando está en la 3 son análogas. Esto significa que sólo hay 3 casos de 18 en los que se gana al no cambiar, mientras que hay 6 de 18 en los que se gana al hacerlo.

Si esta paradoja te ha traído dolores de cabeza, no te preocupés. Cuando Marilyn Vos Savant dió esta solución, que es mejor cambiar de puerta, el 95% de los matemáticos estadounidenses afirmó que ella estaba en un error, y le mandaron miles de cartas pidiéndole que lo admitiese y se disculpara. Pero no, eran ellos los equivocados.

Fuentes: