Breve historia de las matemáticas IV: Antigua Grecia II

Sorprendentemente mis entradas sobre matemáticas son las más leídas del blog. Una lástima que sean las que más tiempo me lleven. Pero el fin, he aquí la continuación de Breve historia de las matemáticas III: Antigua Grecia I. Esta es un entrada algo larga, pero en realidad es una suma de biografías entre matemáticos de distintos matemáticos sin mucha relación entre sí, así que se puede leer por partes sin problema. Me hubiese gustado hacer algo menos enciclopédico y más parecido a un relato, pero estaba difícil y mi tiempo es últimamente muy escaso.

Hiparco de Nicea fue el astrónomo griego. Nació en lo hoy sería Turquía alrededor del año 190 A.C. y es famoso por su basto catálogo de estrellas, el cuál incluye unas 1008 estrellas con su intensidad relativa. Formuló la Teoría Geocéntrica Excéntrica, en la cual la órbita del Sol y la de los otros planetas no están centradas en la Tierra sino un poco corridas, cosa que está relacionado con que el Sol está, en realidad, en el foco de la elipse que forma la órbita de la Tierra; e introdujo el concepto de epiciclo (también atribuido a Apolonio de Perga), un modelo geométrico ideado para explicar las variaciones de velocidad y dirección del movimiento aparente de los planetas y que luego sería muy popular entre los geocentrístas para tratar de subsanar las imperfecciones de esta teoría. Inventó el Teodolito, un instrumento que sirve para medir ángulos y, junto con otros instrumentos, distancias y desniveles. Pero en matemáticas se lo conoce nada más y nada menos que por ser el padre de la Trigonometría. (A mí no me gusta llamar padre de nada a nadie, pero bueno). En términos muy generales, esta es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas: secante, cosecante y contangente. Estos conceptos son muy anteriores a Hiparco; los babilónios y los egipcios ya los conocían. Pero sucede que en la época de Hiparco no se usaban tanto los conceptos de seno y de coseno, como hace la matemática moderna, sino que utilizaban el de cuerda. Una cuerda es la recta que une dos puntos cualquiera de una curva. En la imagen, la línea roja es una cuerda. La fama del astrónomo griego se debe, precisamente, a sus tablas de cuerdas, precursoras de las tablas trigonométricas, y que son las más antiguas que se conocen.

$crd \theta = 2 \cdot sen \frac{\theta}{2}$

(Formulación moderna)

Para armar dichas tablas, Hiparco recorrió una circunferencia de radio r (el valor real utilizado por el griego se desconoce), empezando 0º y aumentando de a 7, 5º hasta llegar a 180º. Estas tablas permitían a los astrónomos griegos resolver cualquier triángulo, y gracias a esto podían hacerse cosas como comparar el tamaño del Sol con el de la Tierra y estos dos con el de la Luna. Hiparco hizo todo esto y, si bien los valores que obtuvo no eran correctos, sí lo era el método matemático para obtenerlos.

Hiparco conocía el Teorema de Ptolomeo, llamado así porque a este último se le debe la primea demostración conocida. El teorema afirma que

El producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

 $\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$

Además, parece que Hiparco conocía el mejor valor de $\pi$ de la época: entre $3 + \frac{1}{7}$ y $3 + \frac{10}{71}$.

Claudio Ptolomeo, nacido alrededor del año 100 A.C., es el famoso autor del Hè Megalè Syntaxi (Composición matemática); libro conocido por todos como Almagesto (del árabe Al-Majesti: el más grande) y que sería el principal texto de astronomía durante mil quinientos años. Si bien este es un tratado de astronomía, su nombre original se debe a que en la antigüedad esta era una rama de las matemáticas. El libro está basado en el catálogo de estrellas de Hiparco, en su sistema geocéntrico y en los epiciclos. Pero no pensés que se trata de una mera copia o recopilación. Ptolomeo desarrolló estas teorías y agregó muchas otras, demostró matemáticamente todo lo que debía demostrar y aportó datos empíricos para todo lo que lo necesitaba. La influencia de Hiparco es importante, pero se trata de una obra original.

En geometría demostró el ya mencionado teorema que hoy lleva su nombre. Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las actuales fórmulas trigonométricas del seno y coseno de la suma de dos ángulos, que hoy en día (Ptolomeo trabajaba con cuerdas) se expresan como:

• $sen(a+b) = cos(a) \cdot sen(b) + sen(a) \cdot cos (b)$
• $cos(a+b) = cos(a) \cdot cos(b) - sen(a) \cdot sen(b)$ 

Asimismo, conocida la medida de la cuerda de un arco, Ptolomeo calculó la cuerda del arco mitad, aquella que hoy en día se escribe así:

$sen(\frac{\alpha}{2})= \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}$

También construyó sus propias tablas de cuerdas muy precisas y que van de los 0º hasta 180° en periodos de 0,5º. Sus conocimientos de trigonometría también le fueron útiles para la construcción de astrolabios y relojes de sol.

Nicómaco de Gerasa, nacido alrededor del año 60 D.C. fue un matemático de renombre en la antigüedad. Su Eisagoge ArithmetikeNicómaco no demostraba sus teoremas sino que únicamente los ilustraba con ejemplos (probablemente esta sea la razón por la que su nombre se ha olvidado). Ciertos errores elementales en su obra sugieren que muchas veces no conocía las demostraciones de sus afirmaciones o que simplemente se trataban de suposiciones. Una curiosidad aparentemente descubierta por Nicómano, y seguramente conocida por quién haya estudiado programación, es la siguiente:

Sumando el primer impar se obtiene el primer cubo, sumando los dos siguientes impares se obtiene el segundo cubo, sumando los tres siguientes se obtiene el tercero, y así sucesivamente:

• $0+1 = 1 = 1^3$
• $3 + 5 = 8 = 2^3$
• $7 + 9 + 11= 27 = 3^3$
• $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$

Herón de Alejandría, famoso nada menos que por haber inventado la primera máquina de vapor, viene a ser el complemento perfecto de Euclides: si la obra de este fue la principal fuente de conocimiento de las matemáticas abstractas, la de Herón lo fue de las aplicadas. En sus obras se discuten la construcción de todo tipo de máquinas, desde planos inclinados y poleas hasta pianos que se tocan solos y puertas de templos automáticas (¡eso es ser un visionario!). Como matemático, escribió La Métrica, obra donde estudia las áreas y volúmenes de diversas superficies y cuerpos. Pero hoy en día su nombre es recordado, en el mundo de las matemáticas, por la llamada fórmula de Herón (que pudo ser también de Arquímedes), la cual relaciona el área A de un triángulo con la longitud de sus lados:

$A = {\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

 Sorprendentemente, parece que también se le habría pasado por la cabeza el concepto de número imaginario mientras calculaba el volumen del tronco de una pirámide (un tronco es la parte de un sólido que se obtiene al cortarlo con dos planos paralelos). De ser verdad esto es increíble, pero todo en Herón es increíble. Y hablando del tronco de una pirámide, si sus bases son paralelas y tienen superficies $B_1$ y $B_2$, el volumen es igual a la altura $h$ del tronco por la media heroniana $H$ del area de sus bases.

$H = \frac{1}{3}(B_1 + \sqrt{B_1 B_2} +B_2)$

$Vol = h \cdot H = \frac{h}{3}(B_1 + \sqrt{B_1 B_2} +B_2)$

Diofanto de Alejandría, nacido alrededor del año 200 D.C es considerado el padre del álgebra. Su gran obra es la Arithmetica, en la que, entre otras cosas, se hacen su aparición las ecuaciones diofánticas y algunos métodos para su resolución. Una ecuación diofántica lineal es de la forma:

$Ax + By = C$

En donde tanto x e y, si existen, como A,B y C son enteros. En la Arithmetica no hay demostraciones, sino que se trata de una recopilación de problemas y sus resoluciones. Uno de esos problemas es su epitafio (que en inglés queda mejor porque se puede hacer rimar):

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad (84 años).

También hay quien cree que Diofanto sabía que cada número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados enteros: ¡increíble: otro visionario!

$n=a^2+b^2+c^2+d^2$

Pero es posible que la contribución más importante de Diofanto a las matemáticas haya sido su notación: introdujo un simbolismo algebraico que utilizaba una abreviatura para lo desconocido y para las potencias de lo desconocido. Esto le facilitaba mucho las cosas: en matemática utilizar la notación inadecuada puede ser terrible.

Pappus, nacido alrededor del año 290 D.C, es el último gran matemático conocido de la antiguedad. Su gran obra, la Collectio (Colección) se conserva sólo parcialmente pero trae consigo el inicio de la geometría proyectiva (esto es, en una definición vaga, el estudio las figuras geométricas pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida). La obra incluye un conjunto de fórmulas sobre centros de gravedad de los cuerpos en rotación, hoy en día conocidos como fórmulas de Guldin por su popularizador. Además, la obra también tiene un importante carácter histórico, pues contiene una gran cantidad de comentarios, citas y referencias de otras obras, algunas conocidas como el Almagesto o el Elementos, pero la mayoría perdidas.

El nombre de Pappus está asociado a una gran cantidad de teoremas:

• Teorema del centroide de Pappus
• La cadena de Pappus
• Teorema armónico de Pappus
• Teorema del hexágono de Pappus.

Sin embargo, cuando uno dice teorema de Pappus generalmente se está refiriendo al del hexágono. Este afirma que

Si en un par de rectas escogemos tres puntos al azar en cada una y los unimos de a pares, entonces las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta.

Breve historia de las matemáticas:

• I: Prehistoria y la Mesopotamia
• II: Antiguo Egipto
• III: Antigua Grecia (I)
• IV: Antigua Grecia (II)

Fuentes:

• Wikipedia - Hipparchus
• Wikipedia - Ptolemy
• Wikipedia - Nicomanchus
• Wikipedia - Hero of Alexandria
• Wikipedia - Diophantus
• Wikipedia - Pappus
• Astroseti.org - Biografía de Diofanto de Alejandría
• H.W. Wussing - Lecciones de historia de las matemáticas
• Encarta 2009

Notas:

• Todas las imágenes son la de Wikipedia, salvo la primera.
• Utilizé otras fuentes cuyas url's perdí en medio de un cambio de SO y, en consecuencia, no puedo mencionar.